1994 年考研数学（二） 第 7 题

分段函数分界点求单侧导数，第一步永远是钉死 $f(1)=\frac{2}{3}$（属左支）。左边同支且连续，导数正常约分得 $2$。右边 $x^2$ 在 $x\to 1^{+}$ 趋于 $1\ne \frac{2}{3}$——函数在右侧根本不连续，而不连续必不可导，右导数不存在。

本题考查分段函数在分界点的单侧导数（及连续性与可导的关系）。 先确定 $f(1)$：由 $x\le 1$ 支得 $f(1)=\frac{2}{3}$。

左导数（用左支 $\frac{2}{3}{x}^3$）：
$$f_{-}^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{2}{3}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2+x+1)=\frac{2}{3}\cdot 3=2,$$
存在。

右导数（用右支 $x^2$）：
$$f_{+}^{\prime }(1)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1},\text{分子}\to 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\ne 0,\text{分母}\to 0^{+},$$
故极限为 $+\infty$，右导数不存在。（实际上右侧 $x^2\to 1\ne f(1)$，$f$ 在 $x=1$ 右侧不连续，必不可导。）

因此左导数存在、右导数不存在，应选 B。