1994 年考研数学（二） 第 6 题

极限值有限（等于 $2$）且分母为 $x^2$，逼着分子的一次项系数 $(1-a)$ 必须为 $0$——这是定 $a=1$ 的钥匙；随后二次项系数 $-(b+\frac{1}{2})$ 直接等于极限 $2$ 定出 $b$。整个过程只需 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ 一条展开式。

本题考查用泰勒公式求极限、反求待定常数。 把 $\ln (1+x)$ 展开到 $x^2$ 阶。

由 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，分子
$$\ln (1+x)-(ax+b{x}^2)=(1-a)x-\left(b+\frac{1}{2}\right)x^2+o(x^2).$$

分母为 $x^2$，若分子含 $x$ 的一次项则极限为 $\infty$，故必须 $1-a=0$，即 $a=1$。此时
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-(b+\frac{1}{2})x^2+o(x^2)}{x^2}=-\left(b+\frac{1}{2}\right)=2\Rightarrow b=-\frac{5}{2}.$$

故 $a=1,b=-\frac{5}{2}$，应选 A。