1994 年考研数学（二） 第 5 题

方程可整理为 $\frac{dy}{y}+\frac{dx}{x(x-4)}=0$，是标准可分离变量型。难点在 $\frac{1}{x(x-4)}$ 的部分分式分解，积分得对数式。最后为了美观把系数 $4$ 乘进对数、合并任意常数，得到整洁的隐式通解 $(x-4)y^4=Cx$。

本题考查可分离变量的一阶微分方程。 把含 $y$ 的与含 $x$ 的分到两边。

由 $ydx=-(x^2-4x)dy$ 分离变量：
$$\frac{dy}{y}+\frac{dx}{x^2-4x}=0,\frac{dx}{x^2-4x}=\frac{dx}{x(x-4)}.$$

部分分式 $\frac{1}{x(x-4)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x}\right)$，两边积分：
$$\ln |y|+\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-4}{x}\right|=C_1.$$

乘以 $4$ 并合并常数：$4\ln |y|+\ln \left|\frac{x-4}{x}\right|=\ln C$，即 $y^4\cdot \frac{x-4}{x}=C$，整理得通解
$$(x-4)y^4=Cx(C\text{ 为任意常数}).$$