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1994 年考研数学（二）第 4 题

填空题 · 3 分

\int x^{3} e^{x^{2}} d x =

___。

提示 1

把

x^{3}

拆成

x^{2} \cdot x

，用

x d x = \frac{1}{2} d (x^{2})

凑微分。

提示 2

换元

u = x^{2}

，积分化为

\frac{1}{2} \int u e^{u} d u

。

提示 3

\int u e^{u} d u

用分部积分，结果

(u - 1) e^{u}

，再回代

u = x^{2}

。

答案与详解

答案 $\frac{1}{2} (x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C$

思路（为什么这么做）

见到

x^{3} e^{x^{2}}

立刻想「凑

d (x^{2})

」——因为

e^{x^{2}}

的原函数不能初等表达，唯有配上

x d x

才行。凑出

x^{2} \cdot e^{x^{2}} \cdot (x d x)

后令

u = x^{2}

，问题变成标准的

\int u e^{u} d u

，分部积分即可。

解答

本题考查凑微分（第一类换元）与分部积分。

e^{x^{2}}

只有配上

x d x

才能积，故先凑

d (x^{2})

。

把

x^{3} = x^{2} \cdot x

，凑微分

x d x = \frac{1}{2} d (x^{2})

，令

u = x^{2}

：

\int x^{3} e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int x^{2} e^{x^{2}} d (x^{2}) = \frac{1}{2} \int u e^{u} d u .

分部积分

\int u e^{u} d u = (u - 1) e^{u} + C

，故

= \frac{1}{2} (u - 1) e^{u} + C = \frac{1}{2} (x^{2} - 1) e^{x^{2}} + C .

考点：换元积分法与分部积分法、不定积分的概念与性质

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