1994 年考研数学（二） 第 3 题

变上限积分求导 = 被积函数在上限处取值，再乘上限对 $x$ 的导数。这道题的唯一「易错点」就是别忘了上限 $\cos 3x$ 的导数因子 $-3\sin 3x$。虽然 $f$ 未知，但答案照样可以用 $f$ 表示出来。

本题考查变限积分求导与复合函数链式法则。 上限是复合函数 $u(x)=\cos 3x$，由 $\frac{d}{dx}{\int }_0^{u(x)}f(t)dt=f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$。

这里 $u=\cos 3x$，$u^{\prime }=-3\sin 3x$，故
$$\frac{d}{dx}{\int }_0^{\cos 3x}f(t)dt=f(\cos 3x)\cdot (-3\sin 3x)=-3f(\cos 3x)\sin 3x.$$