1994 年考研数学（二） 第 2 题

参数方程求二阶导的最大陷阱是「第二次求导后必须再除以 $dx/dt$」。本题先算出 $\frac{dy}{dx}=3t^2+5t+2$（对 $t$ 是干净的多项式），再对 $t$ 求导得 $6t+5$，最后除以 $\frac{dx}{dt}=\frac{t}{1+t}$，即乘 $\frac{1+t}{t}$，得到 $\frac{(6t+5)(t+1)}{t}$。

本题考查参数方程所确定函数的二阶导数。 关键：二阶导 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}(dy/dx)}{dx/dt}$，第二次求导后仍要除以 $\frac{dx}{dt}$。

先求一阶导数。$\frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{1+t}=\frac{t}{1+t}$，$\frac{dy}{dt}=3t^2+2t=t(3t+2)$，故
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{t(3t+2)}{t/(1+t)}=(3t+2)(1+t)=3t^2+5t+2.$$

再求二阶导数：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}(3t^2+5t+2)}{dx/dt}=\frac{6t+5}{t/(1+t)}=\frac{(6t+5)(t+1)}{t}.$$