1994 年考研数学（二） 第 1 题

分界点连续的本质就是「极限值 = 函数值」。这里函数值恰好是待求的 $a$，而极限用等价无穷小可一眼算出：$\frac{\sin 2x}{x}\to 2$、$\frac{e^{2ax}-1}{x}\to 2a$，相加得 $2+2a$。令 $2+2a=a$ 即解出 $a=-2$。

本题考查分段函数在分界点的连续性。 $f(x)$ 在 $x\ne 0$ 处显然连续，只需保证在 $x=0$ 处连续，即 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)=a$。

计算极限（拆成两项，用等价无穷小 $\sin 2x\sim 2x$、$e^{2ax}-1\sim 2ax$）：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x+e^{2ax}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2ax}-1}{x}=2+2a.$$

由连续性 $2+2a=a$，解得 $a=-2$。