1994 年考研数学（二） 第 10 题

对称区间积分的第一反应是拆奇偶。$M$ 整体为奇 $\Rightarrow 0$；$N,P$ 里所有含 $\sin$ 的奇次项全部消失，只剩偶函数 $\pm {\cos }^{4}x$，用华里士公式算得 $\pm \frac{3\pi }{8}$。于是 $N=+\frac{3\pi }{8}$、$P=-\frac{3\pi }{8}$ 恰好把 $M=0$ 夹在中间，得 $P<M<N$。

本题考查对称区间上定积分的奇偶性化简。 积分区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 关于原点对称：奇函数积分为 $0$，偶函数积分为半区间的两倍。

$M$： 被积函数 $\frac{\sin x}{1+x^2}{\cos }^{4}x$ 中 $\sin x$ 为奇、$\frac{1}{1+x^2}$ 与 ${\cos }^{4}x$ 为偶，整体为奇函数，故 $M=0$。

$N$： ${\sin }^{3}x$ 奇（积分 $0$），${\cos }^{4}x$ 偶，故
$$N=2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{4}xdx=2\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}.$$

$P$： $x^2{\sin }^{3}x$ 奇（积分 $0$），$-{\cos }^{4}x$ 偶，故
$$P=-2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{4}xdx=-\frac{3\pi }{8}.$$

因此 $P=-\frac{3\pi }{8}<M=0<N=\frac{3\pi }{8}$，即 $P<M<N$，应选 D。