1994 年考研数学（二） 第 14 题

三角有理式先化简分母：$\sin 2x+2\sin x=2\sin x(\cos x+1)$。凑一个 $\sin xdx$ 好让 $u=\cos x$ 代换，把问题变成有理函数 $\frac{1}{(1-u)(1+u{)}^2}$ 的积分。部分分式时对重因子 $(1+u{)}^2$ 要拆成 $\frac{1}{1+u}$ 与 $\frac{1}{(1+u{)}^2}$ 两项，逐项积出对数与幂函数，最后回代 $\cos x$。

本题考查三角有理式积分（化为有理函数 + 部分分式）。 先用 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 化简分母。

$\sin 2x+2\sin x=2\sin x\cos x+2\sin x=2\sin x(\cos x+1)$。分子分母同乘 $\sin x$，令 $u=\cos x$（$du=-\sin xdx$，$1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$）：
$$\int \frac{dx}{2\sin x(1+\cos x)}=\int \frac{\sin xdx}{2(1-{\cos }^{2}x)(1+\cos x)}=-\frac{1}{2}\int \frac{du}{(1-u)(1+u{)}^2}.$$

部分分式分解 $\frac{1}{(1-u)(1+u{)}^2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-u}+\frac{u+3}{(1+u{)}^2}\right)$，故
$$-\frac{1}{2}\int \frac{du}{(1-u)(1+u{)}^2}=-\frac{1}{8}\int \left(\frac{1}{1-u}+\frac{3+u}{(1+u{)}^2}\right)du.$$

逐项积分：$\int \frac{du}{1-u}=-\ln |1-u|$，$\int \frac{3+u}{(1+u{)}^2}du=\int \left(\frac{1}{1+u}+\frac{2}{(1+u{)}^2}\right)du=\ln |1+u|-\frac{2}{1+u}$。于是
$$-\frac{1}{8}\left(-\ln |1-u|+\ln |1+u|-\frac{2}{1+u}\right)+C=\frac{1}{8}\left(\ln |1-u|-\ln |1+u|+\frac{2}{1+u}\right)+C.$$

回代 $u=\cos x$：
$$\int \frac{dx}{\sin 2x+2\sin x}=\frac{1}{8}\left(\ln |1-\cos x|-\ln |1+\cos x|+\frac{2}{1+\cos x}\right)+C.$$