1994 年考研数学（二） 第 15 题

把两块面积都用 $a$ 表示：直边梯形用梯形公式，曲边梯形用定积分。证不等式最省力的是「作商」——$\frac{D}{D_1}$ 约去公因子 $a$ 后恰能写成 $\frac{3}{2}\cdot \frac{a^2+1}{a^2+\frac{3}{2}}$。因分子比分母小（差 $\frac{1}{2}$），那个因子恒小于 $1$，比值严格小于 $\frac{3}{2}$。识别出「商能拆成 $\frac{3}{2}\times$（恒小于 $1$ 的量）」是关键。

本题考查定积分求曲边梯形面积，以及作商比较证明不等式。

直边梯形面积 $D$： 两平行边为 $OC=\frac{1}{2}$ 与 $AB=a^2+\frac{1}{2}$，高（水平距离）为 $a$，故
$$D=\frac{OC+AB}{2}\cdot a=\frac{\left(\frac{1}{2}+a^2+\frac{1}{2}\right)a}{2}=\frac{(a^2+1)a}{2}.$$

曲边梯形面积 $D_1$：
$$D_1={\int }_0^a\left(x^2+\frac{1}{2}\right)dx=\frac{1}{3}{a}^3+\frac{1}{2}a.$$

作商化简：
$$\frac{D}{D_1}=\frac{\frac{(a^2+1)a}{2}}{\frac{1}{3}{a}^3+\frac{1}{2}a}=\frac{(a^2+1)/2}{\frac{1}{3}{a}^2+\frac{1}{2}}=\frac{3(a^2+1)}{2a^2+3}=\frac{3}{2}\cdot \frac{a^2+1}{a^2+\frac{3}{2}}.$$

由于 $a^2+1<a^2+\frac{3}{2}$，所以 $\frac{a^2+1}{a^2+\frac{3}{2}}<1$，从而 $\frac{D}{D_1}<\frac{3}{2}$。证毕。