1994 年考研数学（二） 第 13 题

底 $\to 1$、幂 $\to \infty$，典型 $1^{\infty }$，标准做法 $A=e^{\lim n\ln (\text{底})}$。用两角和把 $\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n})$ 写成 $\frac{1+\tan \frac{2}{n}}{1-\tan \frac{2}{n}}$，取对数后 $\approx 2\tan \frac{2}{n}\approx \frac{4}{n}$，乘 $n$ 得 $4$，故极限 $e^4$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型极限。 底 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n}\right)\to 1$、指数 $n\to \infty$，用取对数（或 $\lim (1+\alpha {)}^{1/\alpha }=e$）。

由两角和公式 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{2}{n}\right)=\frac{1+\tan \frac{2}{n}}{1-\tan \frac{2}{n}}$。记原式为 $A$，取对数：
$$\ln A=\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln \frac{1+\tan \frac{2}{n}}{1-\tan \frac{2}{n}}.$$

当 $n\to \infty$ 时 $t=\tan \frac{2}{n}\to 0$，且 $\ln \frac{1+t}{1-t}\sim 2t$，又 $\tan \frac{2}{n}\sim \frac{2}{n}$，故
$$\ln A=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot 2\tan \frac{2}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }2n\cdot \frac{2}{n}=4.$$

所以 $A=e^4$。