1994 年考研数学（二） 第 12 题

被积式 $x(1-x^4{)}^{3/2}$ 里 $x^4=(x^2{)}^2$ 且外面正好有一个 $x$（可凑 $d(x^2)$），提示先令 $u=x^2$。剩下的 ${\int }_0^1(1-u^2{)}^{3/2}du$ 是标准三角换元 $u=\sin \theta$，化为 $\int {\cos }^4\theta$，华里士公式一步到位。

本题考查定积分的换元计算（凑微分 + 三角换元 + 华里士公式）。

先凑微分 $xdx=\frac{1}{2}d(x^2)$，令 $u=x^2$（$x:0\to 1$ 时 $u:0\to 1$，且 $x^4=u^2$）：
$${\int }_0^{1}x(1-x^4{)}^{3/2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1(1-u^2{)}^{3/2}du.$$

再令 $u=\sin \theta$（$\theta :0\to \frac{\pi }{2}$，$du=\cos \theta d\theta$，$(1-u^2{)}^{3/2}={\cos }^3\theta$）：
$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^3\theta \cdot \cos \theta d\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta .$$

由华里士公式 ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^4\theta d\theta =\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}$，故
$${\int }_0^{1}x(1-x^4{)}^{3/2}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\pi }{16}=\frac{3\pi }{32}.$$