1993 年考研数学（二） 第 7 题

带绝对值的分式在分界点，第一反应是「拆绝对值、算左右极限」。这里 $x=1$ 是 $x^2-1$ 变号处：左侧取 $1-x^2$、右侧取 $x^2-1$，约掉公因子 $(x-1)$ 后得到 $-(x+1)$ 与 $(x+1)$，左右极限差一个负号（$-2$ 与 $2$）。左右极限不等直接判「不连续」，连续这一关都过不了，可导等更强的性质无从谈起。选项设计成「连续/可导」的递进正是想引你先误判连续。

本题考查分段函数在分界点的连续性。 关键是 $|x^2-1|$ 在 $x=1$ 两侧的符号不同，导致左右极限不等。

当 $x<1$（且靠近 $1$）时 $x^2<1$，$|x^2-1|=1-x^2$，故
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1-x^2}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{-(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }[-(x+1)]=-2.$$

当 $x>1$ 时 $x^2>1$，$|x^2-1|=x^2-1$，故
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x+1)=2.$$

因为左极限 $-2\ne$ 右极限 $2$，极限 $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ 不存在，故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续，选 A。（既不连续，自然更谈不上可导。）