1993 年考研数学（二） 第 6 题

「无界」与「无穷大」是易混对：无穷大 $\Rightarrow$ 无界，但反之不然。判别技巧就是造两串趋于 $0$ 的点列：一串让 $\sin \frac{1}{x}=0$ 把函数压成 $0$（否掉「无穷大」），另一串让 $\sin \frac{1}{x}=1$ 把函数放大到 $\infty$（坐实「无界」）。凡是 $\frac{1}{x^k}\sin \frac{1}{x}$、$\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}$ 这类在 $0$ 附近剧烈振荡又带放大因子的量，答案往往就是「无界但非无穷大」。

本题考查无穷大与无界的区别。 「无穷大」要求当 $x\to 0$ 时函数值绝对值最终一直很大；「无界」只要求能取到任意大的值。用两串趋于 $0$ 的点列区分二者。

取 $x_n=\frac{1}{2n\pi }\to 0$，则 $\frac{1}{x_n^2}\sin \frac{1}{x_n}=(2n\pi {)}^2\sin (2n\pi )=0$，这串点上函数值恒为 $0$，说明它不是无穷大（无穷大要求沿一切趋于 $0$ 的方式都 $\to \infty$）。

再取 $y_n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}\to 0$，则 $\frac{1}{y_n^2}\sin \frac{1}{y_n}=(2n\pi +\frac{\pi }{2}{)}^2\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})=(2n\pi +\frac{\pi }{2}{)}^2\to +\infty$，说明函数值可以任意大，即在 $x=0$ 附近无界。

综上，当 $x\to 0$ 时 $\frac{1}{x^2}\sin \frac{1}{x}$ 无界但不是无穷大，故选 D。