1993 年考研数学（二） 第 5 题

「已知切线斜率求曲线」＝「对 $f^{\prime }(x)$ 积分再定常数」。看到 $x\ln (1+x^2)$，先用 $xdx=\frac{1}{2}d(x^2)$ 凑微分，把问题变成对 $\ln (1+x^2)$ 的分部积分。分部后剩下的有理式 $\frac{x^3}{1+x^2}$ 假分式先做除法降次。最后别漏掉过点条件——它把积分常数 $C$ 钉死为 $-\frac{1}{2}$，恰好让答案能提出公因子 $\frac{1}{2}(1+x^2)$。

本题考查由切线斜率还原原函数（不定积分，分部积分）。 切线斜率即 $f^{\prime }(x)$，积分并用过点条件定常数。

由题意 $\frac{dy}{dx}=x\ln (1+x^2)$，积分得
$$y=\int x\ln (1+x^2)dx=\frac{1}{2}\int \ln (1+x^2)d(x^2).$$
对 $u=x^2$ 用分部积分（把 $\ln (1+x^2)$ 求导、$d(x^2)$ 积分）：
$$=\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}d(x^2)=\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x^2)-\int \frac{x^3}{1+x^2}dx.$$

其中 $\frac{x^3}{1+x^2}=x-\frac{x}{1+x^2}$，故
$$y=\frac{1}{2}{x}^2\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C=\frac{1}{2}(x^2+1)\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}{x}^2+C.$$

由曲线过 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$：代入 $x=0$ 得 $y=C=-\frac{1}{2}$。于是
$$f(x)=\frac{1}{2}(x^2+1)\ln (1+x^2)-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1+x^2)\left[\ln (1+x^2)-1\right].$$