1993 年考研数学（二） 第 4 题

看到 $\tan x$ 配 $\cos x$ 的根式，先把 $\tan x$ 拆成 $\frac{\sin x}{\cos x}$，让 $\sin xdx$ 露出来——它正是 $-d(\cos x)$，于是整个积分变成对 $\cos x$ 的幂函数积分。凑微分的关键信号就是「有 $\sin xdx$ 或 $\cos xdx$，且其余部分都能用 $\cos x$ 或 $\sin x$ 表示」。

本题考查凑微分（第一类换元）法。 把被积函数中的 $\sin xdx$ 凑成 $-d(\cos x)$。

$\frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}=\frac{\sin x}{\cos x\cdot {\cos }^{1/2}x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{3/2}x}$，而 $\sin xdx=-d(\cos x)$，故
$$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}dx=-\int {\cos }^{-3/2}xd(\cos x)=-\frac{{\cos }^{-1/2}x}{-1/2}+C=\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C.$$