1993 年考研数学（二） 第 3 题

「变限积分的单调区间」＝「被积函数的符号区间」。变限积分求导天然得到 $F^{\prime }(x)=$ 被积函数 $2-\frac{1}{\sqrt{x}}$，无需真正积出 $F$。找单调减就是解 $F^{\prime }(x)<0$。这里 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $x$ 小时很大，故靠近 $0$ 一侧 $F^{\prime }<0$；端点 $x=\frac{1}{4}$ 处 $F^{\prime }=0$ 可含可不含，习惯写成闭端 $\left(0,\frac{1}{4}\right]$。别忘了定义域左端只能开到 $0$。

本题考查变限积分求导与函数的单调性。 由微积分基本定理直接得 $F^{\prime }(x)$，再由 $F^{\prime }(x)<0$ 定出单调减区间。

由变限积分求导得 $F^{\prime }(x)=2-\frac{1}{\sqrt{x}}$（$x>0$）。令 $F^{\prime }(x)=0$：
$$2-\frac{1}{\sqrt{x}}=0\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{4}.$$

当 $0<x<\frac{1}{4}$ 时 $\frac{1}{\sqrt{x}}>2$，$F^{\prime }(x)<0$，$F(x)$ 单调减少；当 $x>\frac{1}{4}$ 时 $F^{\prime }(x)>0$，$F(x)$ 单调增加。故单调减少区间为 $\left(0,\frac{1}{4}\right]$。