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1993 年考研数学（二）第 2 题

填空题 · 3 分

函数

y = y (x)

由方程

sin (x^{2} + y^{2}) + e^{x} - x y^{2} = 0

所确定，则

\frac{d y}{d x} =

___。

提示 1

对方程两端关于

x

求导，把

y

当作

x

的函数（复合求导）。

提示 2

关键处理三处：

sin (x^{2} + y^{2})

的外层导数是

cos (x^{2} + y^{2})

乘内层

2 x + 2 y y^{'}

；

x y^{2}

用乘积法则得

y^{2} + 2 x y y^{'}

。

提示 3

把所有含

y^{'}

的项移到一边，其余移到另一边，直接解出

y^{'}

。

答案与详解

答案 $\frac{2 x cos ( x ^{2} + y ^{2} ) + e ^{x} - y ^{2}}{2 x y - 2 y cos ( x ^{2} + y ^{2} )}$

思路（为什么这么做）

隐函数求导的套路固定：两端对

x

求导（

y

是

x

的函数），把

y^{'}

视为未知量解线性方程。本题三个「求导陷阱」都要小心链式与乘积法则：

sin (x^{2} + y^{2})

内层含

2 y y^{'}

，

x y^{2}

展开出

2 x y y^{'}

。求导后把带

y^{'}

的项归拢、其余移项即可。答案里保留

x, y

是隐函数求导的正常写法。

解答

本题考查隐函数求导。 把

y

看作

x

的函数，对方程两端关于

x

求导，再解出

\frac{d y}{d x}

。

对

sin (x^{2} + y^{2}) + e^{x} - x y^{2} = 0

两端关于

x

求导（注意

y

是

x

的函数，

\frac{d}{d x} y^{2} = 2 y \frac{d y}{d x}

）：

cos (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d y}{d x}) + e^{x} - (y^{2} + 2 x y \frac{d y}{d x}) = 0.

整理含

\frac{d y}{d x}

的项：

[2 y cos (x^{2} + y^{2}) - 2 x y] \frac{d y}{d x} = - 2 x cos (x^{2} + y^{2}) - e^{x} + y^{2},

解得

\frac{d y}{d x} = \frac{2 x cos ( x ^{2} + y ^{2} ) + e ^{x} - y ^{2}}{2 x y - 2 y cos ( x ^{2} + y ^{2} )} .

考点：隐函数与参数方程求导

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