1993 年考研数学（二） 第 1 题

遇到 $0\cdot \infty$ 型，先决策把哪个因子放到分母。经验是把「求导后更简单」的留在分子：这里 $\ln x$ 求导得 $1/x$ 很干净，故写成 $\frac{\ln x}{1/x}$。洛必达一次后 $\frac{1/x}{-1/x^2}=-x\to 0$，一步到位。若反过来写成 $\frac{x}{1/\ln x}$，分母求导会越来越乱。

本题考查 $0\cdot \infty$ 型未定式极限的计算。 先把乘积改写成分式，再用洛必达法则。

当 $x\to 0^{+}$ 时 $x\to 0$、$\ln x\to -\infty$，属 $0\cdot \infty$ 型。把它写成 $\frac{\infty }{\infty }$ 型：
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(-x)=0.$$