1993 年考研数学（二） 第 8 题

变限积分遇分段被积函数，核心是「下限在哪、当前 $x$ 在哪一段」。本题下限固定为 $1$：当 $x<1$ 时从 $1$ 往回积 $t^2$，代下限会甩出常数 $-\frac{1}{3}$（这正是 A、C 的错处——它们漏了常数）；当 $x\ge 1$ 积常数 $1$ 得 $x-1$（B 错写成 $x$）。快速排错法：$F(1)$ 必为 $0$，把 $x=1$ 代各选项，只有 D 的两段都给 $0$，衔接连续。

本题考查变限积分（分段被积函数）的计算。 积分下限为 $1$，需按 $x$ 落在哪一段分别积分。

当 $0\le x<1$ 时，积分区间落在 $f(t)=t^2$ 的范围内：
$$F(x)={\int }_1^x{t}^{2}dt=\frac{t^3}{3}{|}_1^x=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{3}.$$

当 $1\le x\le 2$ 时，$f(t)=1$：
$$F(x)={\int }_1^{x}1dt=x-1.$$

故 $F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{3},& 0\le x<1,\\ x-1,& 1\le x\le 2,\end{array}$ 选 D。（注意下限是 $1$ 不是 $0$，所以 $0\le x<1$ 段会带常数 $-\frac{1}{3}$；这也保证了 $F(1)=0$，$F$ 在 $x=1$ 处连续。）