1993 年考研数学（二） 第 9 题

「零点个数」的标准打法：单调性 + 最值 + 端点趋势，画出 $f$ 的大致升降图。这里 $f$ 是「单峰」——先增后减，峰顶 $f(e)=k>0$，两端都掉到 $-\infty$。一个正峰配两端负无穷，图像必然与 $x$ 轴交两次。关键计算是峰值 $f(e)=k$ 恰好正好（$\ln e-1=0$ 抵消，只剩 $k$），题目给 $k>0$ 就是为了保证峰在轴上方、锁定 2 个零点。

本题考查用单调性与最值判断方程根的个数。 先找 $f$ 的最大值，再看两端趋势。

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，令 $f^{\prime }(x)=0$ 得唯一驻点 $x=e$。又 $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$，故 $x=e$ 是极大值点也是最大值点，最大值
$$f(e)=\ln e-\frac{e}{e}+k=1-1+k=k>0.$$

考察端点趋势：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$（因 $\ln x\to -\infty$），$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$（因 $-\frac{x}{e}$ 主导）。

$f$ 在 $(0,e)$ 上从 $-\infty$ 单调增到最大值 $k>0$，在 $(e,+\infty )$ 上从 $k>0$ 单调减到 $-\infty$，由连续性与单调性，两段各穿过 $x$ 轴一次，故恰有 2 个零点，选 B。