1993 年考研数学（二） 第 10 题

奇偶性题的核心口诀：「奇函数求导变偶，偶函数求导变奇」。$f$ 奇 $\to f^{\prime }$ 偶 $\to f^{\prime \prime }$ 奇。已知右半轴 $f^{\prime }>0,f^{\prime \prime }>0$，用偶/奇的对称性搬到左半轴：偶函数 $f^{\prime }$ 符号不变（仍 $>0$），奇函数 $f^{\prime \prime }$ 符号翻转（变 $<0$）。几何直觉也一致——奇函数图像绕原点旋转 $180^{\circ }$：单调增旋转后还是单调增，而「凹」旋转后变「凸」。

本题考查奇函数导数的奇偶性以及单调性、凹凸性的对称性。 由 $f(x)=-f(-x)$ 知 $f$ 是奇函数。

奇函数求导后奇偶性交替：$f(x)$ 奇 $\Rightarrow f^{\prime }(x)$ 偶 $\Rightarrow f^{\prime \prime }(x)$ 奇。（可由 $f(x)=-f(-x)$ 两端求导：$f^{\prime }(x)=-f^{\prime }(-x)\cdot (-1)=f^{\prime }(-x)$，故 $f^{\prime }$ 偶；再求导 $f^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(-x)\cdot (-1)=-f^{\prime \prime }(-x)$，故 $f^{\prime \prime }$ 奇。）

设 $x<0$，则 $-x>0$。因 $f^{\prime }$ 偶：$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)>0$；因 $f^{\prime \prime }$ 奇：$f^{\prime \prime }(x)=-f^{\prime \prime }(-x)<0$。

故在 $(-\infty ,0)$ 内 $f^{\prime }(x)>0$、$f^{\prime \prime }(x)<0$，选 C。（几何上：奇函数图像关于原点对称，右侧「单调增且下凹（凸）」对称到左侧仍是「单调增」，但凹凸性翻转成「上凸」。）