1993 年考研数学（二） 第 11 题

多重复合的高阶导数，稳扎稳打逐层链式即可。一阶导 $\frac{dy}{dx}=2x\cos [f(x^2)]f^{\prime }(x^2)$ 是「常数因子 $2x$ × 两个复合函数」的乘积；二阶导对这三块用乘积法则。易错点有二：$\cos [f(x^2)]$ 求导别忘链式内层还要再乘 $2x$（于是冒出 $x^2$ 和 $[f^{\prime }(x^2){]}^2$）；$f^{\prime }(x^2)$ 求导得 $2x{f}^{\prime \prime }(x^2)$。把三项按「$f^{\prime }$ 项 / $\sin$ 项 / $f^{\prime \prime }$ 项」归类，答案结构就清楚了。

本题考查复合函数的高阶导数（链式法则的反复使用）。 逐层求导，注意 $f(x^2)$ 中内层 $x^2$ 的导数是 $2x$。

一阶导数（外层 $\sin$，中层 $f$，内层 $x^2$）：
$$\frac{dy}{dx}=\cos \left[f(x^2)\right]\cdot f^{\prime }(x^2)\cdot 2x=2x\cos \left[f(x^2)\right]f^{\prime }(x^2).$$

对 $\frac{dy}{dx}=2x\cdot \cos \left[f(x^2)\right]\cdot f^{\prime }(x^2)$ 三个因子用乘积法则再求导：
- $2x$ 求导得 $2$，保留其余：$2\cos \left[f(x^2)\right]f^{\prime }(x^2)$；
- $\cos \left[f(x^2)\right]$ 求导得 $-\sin \left[f(x^2)\right]f^{\prime }(x^2)\cdot 2x$，乘 $2x\cdot f^{\prime }(x^2)$：$-4x^2\sin \left[f(x^2)\right]{\left[f^{\prime }(x^2)\right]}^2$；
- $f^{\prime }(x^2)$ 求导得 $f^{\prime \prime }(x^2)\cdot 2x$，乘 $2x\cos \left[f(x^2)\right]$：$4x^2\cos \left[f(x^2)\right]f^{\prime \prime }(x^2)$。

三项相加：
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2\cos \left[f(x^2)\right]f^{\prime }(x^2)-4x^2\sin \left[f(x^2)\right]{\left[f^{\prime }(x^2)\right]}^2+4x^2\cos \left[f(x^2)\right]f^{\prime \prime }(x^2).$$