1993 年考研数学（二） 第 12 题

含根式的 $\infty -\infty$ 或 $\infty \cdot 0$，第一招是有理化（配共轭），把差消成常数 $100$。真正的陷阱在 $x\to -\infty$：开方 $\sqrt{x^2}=|x|=-x$ 会带出负号，若按正无穷习惯直接写 $\sqrt{x^2}=x$ 就会把答案算成 $+50$（符号错）。凡是 $x\to -\infty$ 且式中出现 $\sqrt{x^2+\cdots }$，都要把 $|x|$ 换成 $-x$。

本题考查 $\infty \cdot 0$（含根式的 $\infty -\infty$）型极限，用有理化处理。 注意 $x\to -\infty$ 时 $\sqrt{x^2+100}=|x|\sqrt{1+\frac{100}{x^2}}=-x\sqrt{1+\frac{100}{x^2}}$（因 $x<0$）。

先对括号内 $\sqrt{x^2+100}+x$ 有理化（乘以共轭 $\sqrt{x^2+100}-x$）：
$$x\left(\sqrt{x^2+100}+x\right)=\frac{x\left[(x^2+100)-x^2\right]}{\sqrt{x^2+100}-x}=\frac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}.$$

分子分母同除以 $x$（$x<0$，故 $\frac{\sqrt{x^2+100}}{x}=-\sqrt{1+\frac{100}{x^2}}$）：
$$\frac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}=\frac{100}{-\sqrt{1+\frac{100}{x^2}}-1}.$$

令 $x\to -\infty$，$\frac{100}{x^2}\to 0$，得
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(\sqrt{x^2+100}+x\right)=\frac{100}{-1-1}=-50.$$