1993 年考研数学（二） 第 13 题

分母是 $1+\cos 2x$ 的第一反应就是降幂公式 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$——这把 $\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$ 亮出来，而 ${\sec }^{2}xdx=d(\tan x)$ 天生适合对 $x$ 做分部积分（$x$ 求导变常数）。分部后落到基础积分 $\int \tan xdx=-\ln \cos x$。这类「$x$ 乘三角函数」的定积分，套路都是先化出可凑微分的形式再分部，让多项式因子 $x$ 被求导掉。

本题考查定积分的计算（倍角公式化简 + 分部积分）。 关键第一步是用 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$ 把分母降次。

由 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$：
$${\int }_0^{\pi /4}\frac{x}{1+\cos 2x}dx={\int }_0^{\pi /4}\frac{x}{2{\cos }^{2}x}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}x{\sec }^{2}xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}xd(\tan x).$$

分部积分：
$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}xd(\tan x)=\frac{1}{2}x\tan x{|}_0^{\pi /4}-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}\tan xdx.$$
第一项：$\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot \tan \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot 1=\frac{\pi }{8}$。

第二项：$-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}\tan xdx=\frac{1}{2}\ln \cos x{|}_0^{\pi /4}=\frac{1}{2}\left(\ln \frac{\sqrt{2}}{2}-\ln 1\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{4}\ln 2.$

合并：
$${\int }_0^{\pi /4}\frac{x}{1+\cos 2x}dx=\frac{\pi }{8}-\frac{1}{4}\ln 2.$$