1993 年考研数学（二） 第 14 题

分子是低次、分母是同一括号的高次幂时，最省事的是「配分子」：把 $x$ 写成 $(x+1)-1$，让每一项都变成 $(1+x{)}^{-k}$ 的纯幂函数，避开部分分式的繁琐。反常积分记得把上限当作极限处理：$(1+x{)}^{-1},(1+x{)}^{-2}$ 在 $+\infty$ 处都趋于 $0$，只剩下限贡献。也可令 $t=1+x$ 换元，效果一样。

本题考查无穷限反常积分的计算。 把分子拆成与分母同形，化为两个易积的幂函数。

凑分子：$x=(x+1)-1$，故
$$\frac{x}{(1+x{)}^3}=\frac{(x+1)-1}{(1+x{)}^3}=\frac{1}{(1+x{)}^2}-\frac{1}{(1+x{)}^3}.$$

分别积分：
$${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{(1+x{)}^2}=-\frac{1}{1+x}{|}_0^{+\infty }=0-(-1)=1,$$
$${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{(1+x{)}^3}=-\frac{1}{2(1+x{)}^2}{|}_0^{+\infty }=0-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}.$$

因此
$${\int }_0^{+\infty }\frac{x}{(1+x{)}^3}dx=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$