1993 年考研数学（二） 第 15 题

这道题看似普通一阶方程，但 $2xydx+x^{2}dy$ 正是 $d(x^{2}y)$ 的招牌形式——识别出「全微分」后，整式立刻凑成 $d(x^{2}y-\sin x-y)=0$，一步得通解。若没看出全微分，也可整理成一阶线性 $\frac{dy}{dx}+\frac{2x}{x^2-1}y=\frac{\cos x}{x^2-1}$，其积分因子恰是 $x^2-1$，同样得到 $\frac{d}{dx}[(x^2-1)y]=\cos x$。两条路殊途同归，全微分法更快。

本题考查一阶微分方程的求解。 该方程恰为全微分方程，可直接凑成某函数的全微分（也可视作一阶线性方程 $\frac{d}{dx}[(x^2-1)y]=\cos x$）。

把方程展开重组：
$$(x^2-1)dy+(2xy-\cos x)dx=0⟹\underset{d(x^{2}y)}{\underbrace{2xydx+x^{2}dy}}-\underset{d(\sin x)}{\underbrace{\cos xdx}}-dy=0,$$
即 $d(x^{2}y-\sin x-y)=0$。

故通解为 $x^{2}y-\sin x-y=C$，即 $(x^2-1)y=C+\sin x$。

代入初值 $y(0)=1$：$(0-1)\cdot 1=C+\sin 0$，得 $C=-1$。于是特解为
$$y=\frac{\sin x-1}{x^2-1}.$$