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1993 年考研数学（二）第 16 题

解答题 · 9 分

设二阶常系数线性微分方程

y^{''} + α y^{'} + β y = γ e^{x}

的一个特解为

y = e^{2 x} + (1 + x) e^{x}

，试确定常数

α, β, γ

，并求该方程的通解。

提示 1

把特解拆开：

e^{2 x} + e^{x} + x e^{x}

。其中纯指数项

e^{2 x}

、

e^{x}

应来自齐次方程，据此定特征根。

提示 2

特征根

λ = 2, 1

给出特征方程

λ^{2} - 3 λ + 2 = 0

，即

α = - 3

、

β = 2

。

提示 3

剩下的

x e^{x}

是非齐次特解，代入

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = γ e^{x}

定出

γ

；通解 = 齐次通解

C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{x}

+ 特解

x e^{x}

。

答案与详解

答案 $α = - 3, β = 2, γ = - 1$ ；通解 $y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{x} + x e^{x}$ 。

思路（为什么这么做）

反推方程的钥匙是「读特解的结构」。特解里凡是带任意常数就能吸收的纯齐次解成分（这里

e^{2 x}

、

e^{x}

）暴露了特征根，于是

α, β

由

(λ - 2) (λ - 1)

一眼定出。剩下无法并入齐次解的

x e^{x}

才是真正的非齐次特解——注意它是

x e^{x}

而非

e^{x}

，说明

λ = 1

是特征单根、右端

e^{x}

发生「共振」需乘

x

，这与

γ \neq = 0

自洽。最后代入定

γ

，通解照「齐次通解 + 特解」拼装。

解答

本题考查由已知特解反推常系数线性微分方程及其通解。 从特解的结构分离出「齐次解成分」与「非齐次特解成分」。

已知特解

y = e^{2 x} + e^{x} + x e^{x}

。其中

e^{2 x}

与

e^{x}

应是对应齐次方程的解，故特征方程有根

λ_{1} = 2, λ_{2} = 1

，特征方程为

(λ - 2) (λ - 1) = λ^{2} - 3 λ + 2 = 0

，从而

α = - 3, β = 2.

去掉齐次成分，剩下的

y_{0} = x e^{x}

是非齐次方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = γ e^{x}

的一个特解。代入验证：

y_{0}^{'} = (1 + x) e^{x}

，

y_{0}^{''} = (2 + x) e^{x}

，

y_{0}^{''} - 3 y_{0}^{'} + 2 y_{0} = [(2 + x) - 3 (1 + x) + 2 x] e^{x} = - e^{x} .

故

γ e^{x} = - e^{x}

，即

γ = - 1

。

于是方程为

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = - e^{x}

，其通解为齐次通解加特解：

y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{x} + x e^{x} (C_{1}, C_{2} 为任意常数) .

考点：常系数非齐次线性微分方程、常系数齐次线性微分方程

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