1993 年考研数学（二） 第 17 题

绕竖直线旋转、区域夹在两条 $y=y(x)$ 之间，柱壳法最顺：体积微元是「周长 $2\pi \times$ 半径 $(2-x)$ × 高 $(\text{上}-\text{下})$ × $dx$」。策略上把被积式拆成多项式项（直接积）与含 $\sqrt{2x-x^2}$ 项（三角代换）两摊分别算，避免一次性硬啃。根式项先用配方 $2x-x^2=1-(x-1{)}^2$ 平移成标准 $\sqrt{1-s^2}$，再 $\sin u$ 代换转成 $\sin$ 幂次积分，用 Wallis 公式（${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^2=\frac{\pi }{4},{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^3=\frac{2}{3}$）快速求值。

本题考查旋转体体积（柱壳法）与定积分计算。 先弄清图形 $A$ 的范围，再用柱壳法对绕 $x=2$ 的旋转体积分。

$x^2+y^2\le 2x$ 即 $(x-1{)}^2+y^2\le 1$，是以 $(1,0)$ 为心、半径 $1$ 的圆盘；$y\ge x$ 取直线上方。直线 $y=x$ 与圆交于 $(0,0)$ 与 $(1,1)$。故 $A$ 是该圆盘中 $y=x$ 上方的部分，对应 $x\in [0,1]$，上边界 $y_2=\sqrt{2x-x^2}$（上半圆），下边界 $y_1=x$。

用柱壳法：位于 $x$ 处、宽 $dx$ 的竖条绕 $x=2$ 旋转，半径为 $2-x$，高为 $y_2-y_1=\sqrt{2x-x^2}-x$，
$$dV=2\pi (2-x)\left(\sqrt{2x-x^2}-x\right)dx,V=2\pi {\int }_0^1(2-x)\left(\sqrt{2x-x^2}-x\right)dx.$$

先分出多项式部分：$2\pi {\int }_0^1(2-x)xdx=2\pi {\int }_0^1(2x-x^2)dx=2\pi \left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi$，故
$$V=2\pi {\int }_0^1(2-x)\sqrt{2x-x^2}dx-\frac{4}{3}\pi .$$

对含根式项作代换。$2x-x^2=1-(x-1{)}^2$，令 $t=x-1$ 再令 $t=-s$，可化到 $2\pi {\int }_0^1(1+s)\sqrt{1-s^2}ds$；再令 $s=\sin u$：
$$2\pi {\int }_0^{\pi /2}(1+\sin u){\cos }^{2}udu=2\pi {\int }_0^{\pi /2}\left(1+\sin u-{\sin }^{2}u-{\sin }^{3}u\right)du=2\pi \left(\frac{\pi }{2}+1-\frac{\pi }{4}-\frac{2}{3}\right)=2\pi \left(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}\right).$$

合并：
$$V=2\pi \left(\frac{\pi }{4}+\frac{1}{3}\right)-\frac{4}{3}\pi =\frac{{\pi }^2}{2}+\frac{2}{3}\pi -\frac{4}{3}\pi =\frac{{\pi }^2}{2}-\frac{2}{3}\pi .$$