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1993 年考研数学（二）第 18 题

解答题 · 9 分

作半径为

r

的球的外切正圆锥，问此圆锥的高

h

为何值时，其体积

V

最小，并求出该最小值。

提示 1

画轴截面：球内切于圆锥，球心在轴上，到底面与到母线的距离都等于

r

。设底面半径

R

、高

h

。

提示 2

用相似三角形

\frac{R}{h} = \frac{r}{( h - r ) ^{2} - r ^{2}}

把

R

用

h

表示，得

R^{2} = \frac{r ^{2} h}{h - 2 r}

，从而

V (h) = \frac{π r ^{2}}{3} \cdot \frac{h ^{2}}{h - 2 r}

（

h > 2 r

）。

提示 3

对

V (h)

求导，驻点

h = 4 r

；用

V^{'}

变号说明它是最小值，代回求

V (4 r)

。

答案与详解

答案当 $h = 4 r$ 时体积最小，最小值 $V = \frac{8 π r ^{3}}{3}$ 。

思路（为什么这么做）

球外切圆锥的最值题，关键在「建模」：画轴截面，抓住球心到底面、到母线都等于

r

这两条切线条件，用相似三角形把底半径

R

表成高

h

的函数（定义域

h > 2 r

，否则球放不进去）。得到

V (h) = \frac{π r ^{2}}{3} \frac{h ^{2}}{h - 2 r}

后就是普通的一元求最小值。求导得驻点

h = 4 r

——这是一个漂亮的整数比结论（锥高＝球径的

4

倍时最省材料），最小体积

\frac{8}{3} π r^{3}

恰是球体积

\frac{4}{3} π r^{3}

的两倍。

解答

本题考查最值应用题（先建立体积关于 $h$ 的函数，再求最小值）。 「外切」指球内切于圆锥，球与圆锥底面及侧面均相切。

设圆锥底面半径为

R

，高

S C = h

。球心

O

在轴上，到底面距离

O C = r

，到母线的距离（切点

D

）

O D = r

。由

S O = S C - O C = h - r

，得沿母线方向

S D = S O^{2} - O D^{2} = (h - r)^{2} - r^{2} = h^{2} - 2 h r

。

由相似三角形

△ S C B \sim △ S D O

：

\frac{B C}{S C} = \frac{O D}{S D}

，即

\frac{R}{h} = \frac{r}{h ^{2} - 2 h r}

，故

R^{2} = \frac{r ^{2} h ^{2}}{h ^{2} - 2 h r} = \frac{r ^{2} h}{h - 2 r}

。于是体积

V (h) = \frac{π}{3} R^{2} h = \frac{π r ^{2}}{3} \cdot \frac{h ^{2}}{h - 2 r}, h > 2 r .

求导找驻点：

V^{'} (h) = \frac{π r ^{2}}{3} \cdot \frac{2 h ( h - 2 r ) - h ^{2}}{( h - 2 r ) ^{2}} = \frac{π r ^{2}}{3} \cdot \frac{h ^{2} - 4 r h}{( h - 2 r ) ^{2}} = \frac{π r ^{2}}{3} \cdot \frac{h ( h - 4 r )}{( h - 2 r ) ^{2}} .

令

V^{'} (h) = 0

，在

h > 2 r

内得唯一驻点

h = 4 r

（

h = 0

舍去）。

当

2 r < h < 4 r

时

V^{'} < 0

，当

h > 4 r

时

V^{'} > 0

，故

h = 4 r

为极小值点，也是最小值点。最小体积

V (4 r) = \frac{π r ^{2}}{3} \cdot \frac{( 4 r ) ^{2}}{4 r - 2 r} = \frac{π r ^{2}}{3} \cdot \frac{16 r ^{2}}{2 r} = \frac{8 π r ^{3}}{3} .

考点：导数应用：最值、渐近线、作图、函数的单调性与极值

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