1992 年考研数学（二） 第 8 题

凡是出现 $e^{1/(x-a)}$，就必须分左右讨论——因为 $\frac{1}{x-a}$ 在 $a$ 两侧一个趋 $+\infty$、一个趋 $-\infty$，指数函数把这种差异放大成 $+\infty$ 与 $0$ 的天壤之别。本题左极限 $0$、右极限 $+\infty$：不相等 $\Rightarrow$ 极限不存在；而「记作 $\infty$」要求双侧都无限增大，这里左侧是 $0$，故只能选「不存在但不为 $\infty$」。

本题考查含 $e^{1/(x-1)}$ 型间断点的左右极限。 先化简 $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$，再分别考察 $x\to 1^{-}$ 与 $x\to 1^{+}$。

左极限：$x\to 1^{-}$ 时 $\frac{1}{x-1}\to -\infty$，$e^{1/(x-1)}\to 0$，故
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}=2\cdot 0=0.$$

右极限：$x\to 1^{+}$ 时 $\frac{1}{x-1}\to +\infty$，$e^{1/(x-1)}\to +\infty$，故
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}=+\infty .$$

左极限为 $0$、右极限为 $+\infty$，两者不相等，故极限不存在；又因为并非左右都趋于 $\infty$，所以也不能记作 $\infty$。故选 D。