1992 年考研数学（二） 第 9 题

变限积分求导的核心口诀：把上限代入被积函数，再乘上限的导数。本题两处「代入」都容易混：被积函数是 $f(t^2)$ 不是 $f(t)$，所以代上限 $x^2$ 得 $f((x^2{)}^2)=f(x^4)$；上限导数 $(x^2{)}^{\prime }=2x$。合起来 $2xf(x^4)$。选项 D 的 $f(x^2)$ 正是没做「$t^2$ 再平方」这一层，是最常见的错。

本题考查变限积分求导（复合上限）。 被积函数中的变量是积分变量 $t$，上限是 $x^2$。

记被积函数为 $g(t)=f(t^2)$。由变限积分求导法则，上限为 $x^2$ 时
$$F^{\prime }(x)=g(x^2)\cdot (x^2{)}^{\prime }=f((x^2{)}^2)\cdot 2x=f(x^4)\cdot 2x=2xf(x^4).$$
故选 C。

易错点：被积函数是 $f(t^2)$，把上限 $x^2$ 代入 $t$ 得 $f((x^2{)}^2)=f(x^4)$，而不是 $f(x^2)$（这会误选 D）。