1992 年考研数学（二） 第 10 题

题干藏了两级关系：$\sin x$ 是 $f$ 的导数，要求的是 $f$ 的原函数——离 $\sin x$ 隔着两次积分。最快的做法是反向验证：对每个选项求一次导应得到 $f(x)=-\cos x$，再求一次导应得到 $\sin x$。$1-\sin x$ 求导得 $-\cos x$，正是 $f$；符合。选项 D 的 $1-\cos x$ 求导得 $\sin x$，那是 $f$ 本身而非其原函数，属于「少积一次」的陷阱。

本题考查「导函数—函数—原函数」的两级积分关系。 由 $f^{\prime }(x)=\sin x$ 先求 $f$，再求 $f$ 的原函数。

由 $f^{\prime }(x)=\sin x$ 得 $f(x)=-\cos x+C_1$。再求 $f$ 的原函数：
$$F(x)=\int f(x)dx=\int (-\cos x+C_1)dx=-\sin x+C_{1}x+C_2.$$

取 $C_1=0,C_2=1$，得 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)=1-\sin x$。故选 B。

验证：$(1-\sin x{)}^{\prime }=-\cos x=f(x)$，再 $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x=f^{\prime }(x)$，两级关系都对。