1992 年考研数学（二） 第 11 题

$1^{\infty }$ 是最常见的幂指极限陷阱：不能把底数直接取 $1$。两条稳路——凑第二重要极限，或取对数用 $\ln (1+u)\sim u$。核心都是算「指数 × (底数 $-1$)」的极限：这里 $\frac{x-1}{2}\cdot (-\frac{3}{6+x})$，分子分母同阶（都含 $x$），比值 $\to 1$，故整体 $\to -\frac{3}{2}$，答案 $e^{-3/2}$。分子的 $-3$ 来自两常数之差 $3-6$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型极限。 底数 $\frac{3+x}{6+x}\to 1$，指数 $\frac{x-1}{2}\to \infty$，可凑第二个重要极限 $\lim (1+u{)}^{1/u}=e$。

把底数写成 $1+$（小量）：$\frac{3+x}{6+x}=1+\frac{-3}{6+x}$。于是
$${\left(\frac{3+x}{6+x}\right)}^{\frac{x-1}{2}}={\left[{\left(1+\frac{-3}{6+x}\right)}^{-\frac{6+x}{3}}\right]}^{\frac{x-1}{2}\cdot \left(-\frac{3}{6+x}\right)}.$$

内层方括号当 $x\to \infty$ 时 $\to e$；外层指数
$$\frac{x-1}{2}\cdot \left(-\frac{3}{6+x}\right)=-\frac{3}{2}\cdot \frac{x-1}{6+x}⟶-\frac{3}{2}.$$
故原极限 $=e^{-3/2}$。

（也可取对数：$\frac{x-1}{2}\ln \frac{3+x}{6+x}=\frac{x-1}{2}\ln \left(1-\frac{3}{6+x}\right)\sim \frac{x-1}{2}\cdot \left(-\frac{3}{6+x}\right)\to -\frac{3}{2}$，同样得 $e^{-3/2}$。）