1992 年考研数学（二） 第 12 题

隐函数求高阶导的通法是「隐式微分 + 逐点代值」：不必解出 $y(x)$，而是每求一次导就把已知的点值代进去，为下一步铁定基础。本题节奏是 $y(0)=1\to y^{\prime }(0)=e\to y^{\prime \prime }(0)=2e^2$。第二次求导时 $x{e}^y(\cdots )$ 这些带 $x$ 因子的项在 $x=0$ 处全部归零，大大简化，这正是「在 $x=0$ 取值」带来的便利。

本题考查隐函数的高阶（二阶）导数。 先由方程定出 $x=0$ 处的 $y$，再对方程逐次求导并逐次代值。

当 $x=0$ 时，方程 $y-0=1$ 给出 $y(0)=1$。

对 $y-x{e}^y=1$ 两端关于 $x$ 求导：
$$y^{\prime }-e^y-x{e}^y{y}^{\prime }=0.$$
代入 $x=0,y=1$：$y^{\prime }(0)-e-0=0\Rightarrow y^{\prime }(0)=e$。

再对上式两端关于 $x$ 求导：
$$y^{\prime \prime }-e^y{y}^{\prime }-(e^y{y}^{\prime }+x{e}^y(y^{\prime }{)}^2+x{e}^y{y}^{\prime \prime })=0,$$
即 $y^{\prime \prime }-2e^y{y}^{\prime }-x{e}^y(y^{\prime }{)}^2-x{e}^y{y}^{\prime \prime }=0$。代入 $x=0,y=1,y^{\prime }=e$：
$$y^{\prime \prime }(0)-2e\cdot e=0\Rightarrow y^{\prime \prime }(0)=2e^2.$$
故 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=0}=2e^2$。