1992 年考研数学（二） 第 13 题

分子是 $x$ 的奇次幂、分母含 $\sqrt{1+x^2}$，其实更快的路子是令 $u=\sqrt{1+x^2}$，则 $x^2=u^2-1$、$xdx=udu$，积分变成 $\int (u^2-1)du$ 直接积出，与三角代换殊途同归。三角代换 $x=\tan t$ 是通用兜底，代换后靠 ${\tan }^2={\sec }^2-1$ 把奇次 $\tan$ 配成 $d(\sec t)$。两法都指向同一答案。

本题考查换元积分法。 含 $\sqrt{1+x^2}$，可用三角代换 $x=\tan t$，也可用更快的 $u=\sqrt{1+x^2}$ 代换。

三角代换法： 令 $x=\tan t$，则 $dx={\sec }^{2}tdt$，$\sqrt{1+x^2}=\sec t$，
$$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx=\int \frac{{\tan }^{3}t}{\sec t}{\sec }^{2}tdt=\int {\tan }^{3}t\sec tdt=\int ({\sec }^{2}t-1)d(\sec t).$$

积分得 $\frac{1}{3}{\sec }^{3}t-\sec t+C$。回代 $\sec t=\sqrt{1+x^2}=(x^2+1{)}^{1/2}$：
$$\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx=\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}-(x^2+1{)}^{1/2}+C.$$

验证： 对结果求导，$[\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}{]}^{\prime }=x(x^2+1{)}^{1/2}$，$[(x^2+1{)}^{1/2}{]}^{\prime }=x(x^2+1{)}^{-1/2}$，相减得 $\frac{x(x^2+1)-x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}$，正确。