1992 年考研数学（二） 第 14 题

见到 $\sqrt{1\pm \sin x}$，立刻想到「半角配平方」：$1-\sin x=(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}{)}^2$。开方后千万别忘绝对值——这是本题唯一的坑。去绝对值要按被开方式的符号分段：$\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}$ 在 $x=\frac{\pi }{2}$ 处变号，故把 $[0,\pi ]$ 断成两段分别积分。两段因对称各贡献 $2(\sqrt{2}-1)$，合成 $4(\sqrt{2}-1)$。

本题考查含根号（绝对值）的定积分计算。 关键是用半角把 $1-\sin x$ 化成完全平方，开方后处理绝对值。

由 $1={\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}$、$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$，得
$$1-\sin x={\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)}^2\Rightarrow \sqrt{1-\sin x}=\left|\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right|.$$

令 $u=\frac{x}{2}$（$dx=2du$，$x:0\to \pi$ 对应 $u:0\to \frac{\pi }{2}$）：
$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}dx=2{\int }_0^{\pi /2}\left|\cos u-\sin u\right|du.$$
在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 上 $\cos u\ge \sin u$，在 $\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$ 上 $\sin u\ge \cos u$。

$$=2{\int }_0^{\pi /4}(\cos u-\sin u)du+2{\int }_{\pi /4}^{\pi /2}(\sin u-\cos u)du=2(\sin u+\cos u){|}_0^{\pi /4}-2(\sin u+\cos u){|}_{\pi /4}^{\pi /2}.$$
第一段 $=2(\sqrt{2}-1)$，第二段 $=-2(1-\sqrt{2})=2(\sqrt{2}-1)$，合计
$${\int }_0^{\pi }\sqrt{1-\sin x}dx=4(\sqrt{2}-1).$$