1992 年考研数学（二） 第 15 题

把 $dx$、$dy$ 混在一起的方程，先判类型：本题除以 $2xdx$ 后是 $y^{\prime }$ 与 $y$ 的一次关系，即一阶线性。识别出 $P=-\frac{1}{2x}$ 后，积分因子 $x^{-1/2}$ 是全题枢纽。通解自然分成两部分：$C\sqrt{x}$ 是对应齐次方程 $y^{\prime }=\frac{y}{2x}$ 的解，$-\frac{1}{5}{x}^3$ 是一个特解，结构上「齐次通解 + 特解」一目了然。

本题考查一阶线性微分方程的求解。 先整理成标准形，再用公式（或积分因子）求通解。

由 $(y-x^3)dx-2xdy=0$ 得 $\frac{dy}{dx}=\frac{y-x^3}{2x}$，整理为标准形
$$\frac{dy}{dx}-\frac{1}{2x}y=-\frac{1}{2}{x}^2.$$

这是一阶线性方程，$P(x)=-\frac{1}{2x}$，$Q(x)=-\frac{1}{2}{x}^2$。积分因子 $\mu =e^{\int Pdx}=e^{-\frac{1}{2}\ln x}=x^{-1/2}$。用通解公式
$$y=e^{-\int Pdx}\left[\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right]=x^{1/2}\left[\int \left(-\frac{1}{2}{x}^2\right)x^{-1/2}dx+C\right].$$

计算内层积分：$\int -\frac{1}{2}{x}^{3/2}dx=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}{x}^{5/2}=-\frac{1}{5}{x}^{5/2}$。于是
$$y=x^{1/2}\left(-\frac{1}{5}{x}^{5/2}+C\right)=C\sqrt{x}-\frac{1}{5}{x}^3.$$
即通解为 $y=C\sqrt{x}-\frac{1}{5}{x}^3$（$C$ 为任意常数）。