1992 年考研数学（二） 第 16 题

分段函数的积分，第一步永远是「把积分区间对齐到分界点」。这里先用平移换元 $u=x-2$ 让自变量回到 $f$ 原本的分段坐标，区间随之变成 $[-1,1]$，正好被分界点 $0$ 一分为二。之后各段套各自的表达式即可。换元时区间端点跟着平移（$1\to -1$、$3\to 1$）是最易漏的一步。

本题考查分段函数的定积分与换元。 先作平移换元把 $f(x-2)$ 变成 $f(u)$，再按分段区间分别积分。

令 $u=x-2$，则 $du=dx$；当 $x:1\to 3$ 时 $u:-1\to 1$。于是
$${\int }_1^{3}f(x-2)dx={\int }_{-1}^{1}f(u)du.$$

在 $[-1,1]$ 上跨越分界点 $u=0$，按 $f$ 的定义分两段：
$${\int }_{-1}^{1}f(u)du={\int }_{-1}^0(1+u^2)du+{\int }_0^1{e}^{-u}du.$$

分别计算：
$${\int }_{-1}^0(1+u^2)du={\left[u+\frac{u^3}{3}\right]}_{-1}^0=0-\left(-1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3},$$
$${\int }_0^1{e}^{-u}du={\left[-e^{-u}\right]}_0^1=1-\frac{1}{e}.$$
合计 $\frac{4}{3}+1-\frac{1}{e}=\frac{7}{3}-\frac{1}{e}$。