1992 年考研数学（二） 第 17 题

常系数非齐次的核心判断是「共振」：右端 $P(x)e^{\lambda x}$ 的 $\lambda$ 是否为特征根。本题 $\lambda =1$ 是单根，故特解在常规猜测 $(ax+b)e^x$ 前要补乘一个 $x$，变成 $x(ax+b)e^x$——这一步的 $x$ 因子决定成败。代入后原本一次的右端 $x{e}^x$ 迫使二次项系数为零、一次与常数项匹配，解出 $a=-\frac{1}{2},b=-1$。最终通解由齐次的两条指数与这个特解叠加而成。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程。 通解 = 齐次通解 + 一个特解。

齐次部分： 特征方程 ${\lambda }^2-3\lambda +2=0$，特征根 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2$，故齐次方程 $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$ 的通解为 $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$。

特解部分： 右端为 $x{e}^x$，其中 $e^x$ 的指数 $1$ 恰是单重特征根，故设特解
$$y_0=x(ax+b)e^x=(a{x}^2+bx)e^x.$$
代入原方程比较系数（$e^x$ 项系数满足 $-2ax+(2a-b)=x$）得 $a=-\frac{1}{2},b=-1$，即 $y_0=-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^x$。

通解：
$$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^x(C_1,C_2\text{为任意常数}).$$