1992 年考研数学（二） 第 18 题

弧长题的成败几乎全在「$1+y^{\prime 2}$ 能不能开出根号」。本题 $y=\ln (1-x^2)$ 的导数平方加一后，分子 $(1-x^2{)}^2+4x^2$ 恰好凑成 $(1+x^2{)}^2$——这种完全平方是命题人精心设计的信号。开方后被积函数是真分式 $\frac{1+x^2}{1-x^2}$，用「凑常数」拆成 $\frac{2}{1-x^2}-1$，前者积分给对数、后者给线性项，干净收尾。

本题考查平面曲线的弧长（定积分几何应用）。 弧长公式 $s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$。

先求导：$y^{\prime }=\frac{-2x}{1-x^2}$。则
$$1+y^{\prime 2}=1+\frac{4x^2}{(1-x^2{)}^2}=\frac{(1-x^2{)}^2+4x^2}{(1-x^2{)}^2}=\frac{(1+x^2{)}^2}{(1-x^2{)}^2}.$$
在 $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ 上 $1-x^2>0$，故 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}=\frac{1+x^2}{1-x^2}$。

于是弧长
$$s={\int }_0^{1/2}\frac{1+x^2}{1-x^2}dx={\int }_0^{1/2}\left(\frac{2}{1-x^2}-1\right)dx,$$
其中用了 $\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{2-(1-x^2)}{1-x^2}=\frac{2}{1-x^2}-1$。

积分：$\int \frac{2}{1-x^2}dx=\ln \frac{1+x}{1-x}$，故
$$s={\left[\ln \frac{1+x}{1-x}-x\right]}_0^{1/2}=\ln \frac{3/2}{1/2}-\frac{1}{2}=\ln 3-\frac{1}{2}.$$