1992 年考研数学（二） 第 19 题

这是「几何量随参数变化，求参数使几何量最优」的典型两层结构：内层用定积分把面积表示成切点参数 $a$ 的函数 $S(a)=\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}-\text{常数}$；外层对 $a$ 做一元最值。注意 $\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}$ 由均值不等式在 $a=1$ 取最小，与求导结论一致。因 $\sqrt{x}$ 凹，切线恒在曲线上方，面积被积函数「切线减曲线」符号明确，无需再讨论上下位置。

本题考查定积分（面积）与一元函数最值的综合。 以切点横坐标 $a$ 为参数写出面积 $S(a)$，再对 $a$ 求最小值。

设切点为 $\left(a,\sqrt{a}\right)$（$a>0$）。因 $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，切线方程为
$$y-\sqrt{a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a),\text{即}y=\frac{x}{2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{2}.$$
由 $\sqrt{x}$ 的凹性，切线在 $[0,2]$ 上位于曲线上方。

所围面积
$$S(a)={\int }_0^2\left(\frac{x}{2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{2}\right)dx-{\int }_0^2\sqrt{x}dx=\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}-\frac{4\sqrt{2}}{3}.$$
（其中 ${\int }_0^2\frac{x}{2\sqrt{a}}dx=\frac{1}{\sqrt{a}}$，${\int }_0^2\frac{\sqrt{a}}{2}dx=\sqrt{a}$，${\int }_0^2\sqrt{x}dx=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。）

对 $a$ 求导找最小：
$$S^{\prime }(a)=-\frac{1}{2a\sqrt{a}}+\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{a-1}{2a\sqrt{a}}=0\Rightarrow a=1.$$
当 $0<a<1$ 时 $S^{\prime }<0$，当 $a>1$ 时 $S^{\prime }>0$，故 $a=1$ 处 $S(a)$ 取最小值。此时切线为
$$y=\frac{x}{2}+\frac{1}{2},$$
对应最小面积 $S(1)=1+1-\frac{4\sqrt{2}}{3}=2-\frac{4\sqrt{2}}{3}$。