1992 年考研数学（二） 第 20 题

证 $f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2)$ 这类「次可加性」，本质是 $f^{\prime }$ 递减（上凸）的体现。技巧在于把不等式拆成两个「等长增量」之比：$f(x_1)-f(0)$ 与 $f(x_1+x_2)-f(x_2)$ 的自变量增量都是 $x_1$，于是各用一次拉格朗日中值定理化成 $f^{\prime }(c_1)x_1$ 与 $f^{\prime }(c_2)x_1$。两个中值点满足 $c_1<c_2$，靠 $f^{\prime \prime }<0$ 使 $f^{\prime }$ 递减一步比出大小。$f(0)=0$ 是把 $f(x_1)-f(0)$ 收成 $f(x_1)$ 的收尾条件。

本题考查拉格朗日中值定理与 $f^{\prime \prime }<0$（即 $f^{\prime }$ 单调递减）的配合证明不等式。 不妨设 $x_1\le x_2$。

在 $[0,x_1]$ 上对 $f$ 用拉格朗日中值定理：存在 $c_1\in (0,x_1)$，使
$$f(x_1)-f(0)=f^{\prime }(c_1)x_1.$$
在 $[x_2,x_1+x_2]$ 上对 $f$ 用拉格朗日中值定理（区间长度也是 $x_1$）：存在 $c_2\in (x_2,x_1+x_2)$，使
$$f(x_1+x_2)-f(x_2)=f^{\prime }(c_2)x_1.$$

因为 $c_1<x_1\le x_2<c_2$，所以 $c_1<c_2$。又 $f^{\prime \prime }(x)<0$ 说明 $f^{\prime }(x)$ 单调递减，故 $f^{\prime }(c_1)>f^{\prime }(c_2)$。两边同乘正数 $x_1$：
$$f^{\prime }(c_1)x_1>f^{\prime }(c_2)x_1,\text{即}f(x_1)-f(0)>f(x_1+x_2)-f(x_2).$$

再由 $f(0)=0$，即得
$$f(x_1)>f(x_1+x_2)-f(x_2)⟹f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2).$$
证毕。