1992 年考研数学（二） 第 6 题

判断「谁是谁的几阶无穷小」，一律作比取极限：极限为 $0$ 是高阶、为非零常数是同阶、为 $\infty$ 是低阶、为 $1$ 是等价。记住泰勒展开 $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$，故 $x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$ 是三阶无穷小，比二阶的 $x^2$ 高一阶，直接判为高阶无穷小。

本题考查无穷小的阶的比较。 计算比值 $\frac{x-\sin x}{x^2}$ 在 $x\to 0$ 时的极限。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{2x}=0.$$
（用洛必达法则或 $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$。）比值极限为 $0$，说明 $x-\sin x$ 比 $x^2$ 更快趋于零，即为 $x^2$ 的高阶无穷小。故选 B。

补充：其实 $x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$（三阶），确实高于 $x^2$（二阶）。