1992 年考研数学（二） 第 5 题

两曲线围成面积的标准三步：求交点定区间、比大小定上下、作差积分。本题交点 $x=0,1$ 来自公因式 $x$ 与 $e^x=e$；被积函数含 $x{e}^x$，须用分部积分，记住原函数 $(x-1)e^x$ 可省时。代入上下限时 $(x-1)e^x$ 在 $x=1$ 为 $0$、在 $x=0$ 为 $-1$，相减给出干净的 $-(-1)=+1$。

本题考查平面图形面积（定积分几何应用）。 先求交点，再确定上下位置，最后积分。

求交点：$x{e}^x=ex\Rightarrow x(e^x-e)=0$，得 $x=0$ 与 $x=1$。在 $(0,1)$ 上取 $x=\frac{1}{2}$ 检验：$ex=\frac{e}{2}\approx 1.36>x{e}^x=\frac{1}{2}{e}^{1/2}\approx 0.82$，故直线 $y=ex$ 在上。

$$S={\int }_0^1\left(ex-x{e}^x\right)dx=\frac{e}{2}{x}^2{|}_0^1-(x-1)e^x{|}_0^1=\frac{e}{2}-[0-(-1)]=\frac{e}{2}-1.$$
其中 $\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x$（分部积分）。