1992 年考研数学（二） 第 4 题

分母是 $x$ 乘 $x^2+1$，直接部分分式会出现 $\arctan$ 项略繁；更快的思路是发现 $\frac{dx}{x}=\frac{1}{2}\frac{d(x^2)}{x^2}$，一步把积分「升维」成只关于 $x^2$ 的有理式 $\frac{1}{u(u+1)}$，两项都是简单对数。反常积分收敛，上限处 $\ln \frac{u}{u+1}\to \ln 1=0$，只剩下限贡献。

本题考查反常积分的计算。 用凑微分 $xdx=\frac{1}{2}d(x^2)$ 把被积函数化为关于 $x^2$ 的有理式。

$${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x(x^2+1)}=\frac{1}{2}{\int }_1^{+\infty }\frac{d(x^2)}{x^2(x^2+1)}=\frac{1}{2}{\int }_1^{+\infty }\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}\right)d(x^2).$$

积分得
$$\frac{1}{2}\ln \frac{x^2}{x^2+1}{|}_1^{+\infty }=\frac{1}{2}\left[\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \frac{x^2}{x^2+1}-\ln \frac{1}{2}\right]=\frac{1}{2}\left[0-\ln \frac{1}{2}\right]=\frac{1}{2}\ln 2.$$