1992 年考研数学（二） 第 3 题

$\frac{0}{0}$ 型极限，先估分子分母各自是几阶无穷小。关键点是分母 $e^x-\cos x$：很多人误以为它像 $\cos$ 那样从二阶起步，其实 $e^x$ 带来一次项 $x$，相减后最低阶是 $x$（一阶）。分子只有二阶 $\frac{1}{2}{x}^2$，「高阶比低阶」趋于 $0$。只要把两边的最低阶数比出来，答案立现。

本题考查用等价无穷小（泰勒展开）求极限。 分别求出分子、分母的主部即可。

分子：$1-\sqrt{1-x^2}=-\left[(1-x^2{)}^{1/2}-1\right]\sim -\frac{1}{2}(-x^2)=\frac{1}{2}{x}^2$。

分母：$e^x\sim 1+x+\frac{1}{2}{x}^2$，$\cos x\sim 1-\frac{1}{2}{x}^2$，故 $e^x-\cos x\sim x+x^2$，其主部为 $x$。

于是
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{e^x-\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2}{x+x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}x}{1+x}=0.$$