1992 年考研数学（二） 第 2 题

闭区间上求最大值是标准套路：可能的最值点只会出现在「导数为零的驻点」或「区间端点」。本题 $y^{\prime }=1-2\sin x$ 在 $x=\frac{\pi }{6}$ 变号（左正右负，是极大点），且 $y(\frac{\pi }{6})=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$ 比两端点都大，故它就是最大值。切忌只求驻点而忘记与端点比较。

本题考查闭区间上连续函数的最大值。 比较驻点与两端点处的函数值即可。

求驻点：$y^{\prime }=1-2\sin x=0\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2}$，在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上得 $x=\frac{\pi }{6}$。

比较三处的值：
$$y(0)=2,y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+2\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\approx 2.256,y\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\approx \mathrm{1.571.}$$
故最大值为 $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$。