1992 年考研数学（二） 第 1 题

看到参数方程求 $\frac{dy}{dx}$，第一反应就是分子分母各自对参数 $t$ 求导再相除。本题的巧妙在于 $x$、$y$ 都由同一个抽象函数 $f$ 复合而成：在 $t=0$ 时两条链都落到 $f^{\prime }(0)$ 上，未知的 $f^{\prime }(0)$ 恰好上下约去，答案是纯数字 $3$，其中 $3$ 来自 $y$ 那一支的内层导数 $3e^{3t}$ 在 $t=0$ 的取值。

本题考查参数方程所确定函数的求导。 对参数方程有 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$。

分别对参数 $t$ 求导：
$$\frac{dx}{dt}=f^{\prime }(t),\frac{dy}{dt}=f^{\prime }(e^{3t}-1)\cdot 3e^{3t}.$$

在 $t=0$ 处，$e^{3\cdot 0}-1=0$，故 $\frac{dx}{dt}{|}_0=f^{\prime }(0)$，$\frac{dy}{dt}{|}_0=f^{\prime }(0)\cdot 3$。于是
$$\frac{dy}{dx}{|}_{t=0}=\frac{3f^{\prime }(0)}{f^{\prime }(0)}=3.$$
（此处用到 $f^{\prime }(0)\ne 0$，比值有意义。）