1991 年考研数学（二） 第 9 题

找渐近线是「两头看极限、断点看爆破」：$x\to \pm \infty$ 求得极限 $1$ 即水平渐近线 $y=1$；再找函数无定义的点（分母零点 $x=0$），确认该处函数趋于无穷即为铅直渐近线 $x=0$。${\mathrm{e}}^{-x^2}$ 只在 $x=0$ 等于 $1$，故铅直渐近线唯一。两类都有，选 D。

本题考查曲线渐近线的判定。 分别考察 $x\to \infty$（水平渐近线）与分母为零处（铅直渐近线）。

水平渐近线： 当 $x\to \pm \infty$ 时 ${\mathrm{e}}^{-x^2}\to 0$，故 $y\to \frac{1+0}{1-0}=1$，得水平渐近线 $y=1$。

铅直渐近线： 分母 $1-{\mathrm{e}}^{-x^2}=0\iff {\mathrm{e}}^{-x^2}=1\iff x=0$。当 $x\to 0$ 时分子 $\to 2\ne 0$，而分母 $\to 0^{+}$，故 $y\to +\infty$，得铅直渐近线 $x=0$。

因此曲线既有水平渐近线 $y=1$，又有铅直渐近线 $x=0$，选 D。